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whitewolf;4188655 schrieb:
@xela

Mir ist der massive Einsatz des Symbols "∞" in Deinen Formeln sehr suspekt.

Ich kenne keine Wahrscheinlichkeitsrechnung, in der dieses Symbol jemals aufgetaucht waere.

Letzlich reduziert sich das auf die Frage, was das Ergebnis von

∞*0

ist.

Ich habe bisher nirgendwo versucht, so etwas wie ∞*0 auszurechnen. Das Symbol (&#8734:zwinker: dient lediglich als abkürzender Bezeichner für "unendlich lange Pechsträhne", genauso wie das Symbol (k-1; 1) lediglich als abkürzender Bezeichner für "k-1 mal am Stück verlieren und im Anschluß gewinnen" dient.

Mein letzter Beitrag dient lediglich einem einzigen Zweck, nämlich dir deine folgende Frage zu beantworten:

whitewolf;4188718 schrieb:
Wieso kann es keine unendlich lange Pechstraene geben? Wo leitest Du das her?

[...]

Die Antwort auf diese Frage ist: Es kann deshalb keine unendlich lange Pechsträhne geben, weil die Wahrscheinlichkeit dafür W[(&#8734:zwinker:]=W[unendlich lange Pechsträhne]=0 ist.

Dieses Resultat gilt immer dann, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit P für den Gewinn eines Einzelspiels größer als Null ist. Dabei spielt es keine Rolle, ob P=50% oder P=49% oder P=10% ist. Es ist also vollkommen schnurz, ob das Roulettespiel fair oder nicht fair ist. Es ist also egal, ob da eine Null mit bei ist, eine Doppelnull oder nichts von beidem.

Bewiesen habe ich dir das in meinem letzten Beitrag direkt mithilfe der Kolmogorow-Axiome, so wie du wolltest. Wenn dir an dem dortigen Gedankengang etwas unklar ist, dann nenne mir die erste Stelle, wo Verständnisschwierigkeiten bzw. Unklarheiten auftauchen. Ich werde dann dort noch einmal einhaken.

whitewolf;4188655 schrieb:
Annahmen:
Der Einfachheit halber gibt es keine gruene NULL.
Man setzt immer auf Rot, startet mit $1 und verdoppelt nach jedem Verlust.

[...]

Das entspricht genau der Spielstrategie, die ich in #23 beschrieben habe mit P=50%, A=2 und G=$1.

whitewolf;4188655 schrieb:
Nehmen wir jetzt mal an, wir haben n=3 Fehlversuche. (n kann durch jede natuerliche Zahl ersetzt werden -- ich will das ganze beispielhaft bewusst einfach halten.)

Dann hat man nach 3 Spielen 1+2+4=7$ verloren. Im 4. Spiel werden dann 8$ eingesetzt.

Nehmen wir an, man gewinnt das Spiel, dann erhaelt man einen Bruttogewinn (einschliesslich Einsatz) von 16$

Und das entspricht genau der Spielsituation (k-1; 1) für k=4, d. h. dreimal am Stück verlieren und im Anschluß einmal gewinnen.

whitewolf;4188655 schrieb:
Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass man 3x verliert und anschliessend einmal gewinnt?

0,5^(n+1)

Fuer n=3 also 1/16.

Korrekt. Ich sagte ja, daß W[(k-1; 1)]=P*(1-P)^(k-1) ist. Für P=50% und k=4 kommt genau dasselbe raus.

whitewolf;4188655 schrieb:
Jetzt multipliziert man 1/16 mit 16 und erhaelt einen Erwartungswert von 1! (das reprasentiert den Bruttogewinn einschliesslich Einsatz)

Du hast also ein System, was fuer beliebige n jeweils einen Erwartungswert von 1 liefert.

Dadurch gewinnt man nichts. Solange das Sytem keinen Erwartungswert zumindest minimal ueber 1 liefert, kann man es vergessen.

Was ist jetzt dein Problem? Für n=3 (bzw. k=4) gewinnst du im letzten Einzelspiel $16. Davon kannst du deine bisher getätigten Einsätze von $1+$2+$4+$8=$15 ausgleichen und hast anschließend noch genau die gewünschte Gewinnmenge G=$1 als Überschuß übrig.

Diesen gewünschten Überschuß G=$1 realisierst du immer, egal ob die Spielsituation mit n=3 oder n=2513 realisert wird. Eines dieser n wird ja realisiert werden, da es eben keine unendliche Pechsträhne geben kann.

Damit ist der Erwartungswert G_Mittel für G ebenfalls genau $1, also positiv. Du machst also im Mittel keine Verluste sondern immer einen Gewinn von $1.

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Scheich Assis;4188729 schrieb:
Roulette ist also ein unfaires Spiel. Man spielt jedesmal gegen die Wahrscheinlichkeit.

Das ist falsch. Es spielt keine Rolle, ob die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Einzelspiel bei P=50% oder P=49% oder P=10% liegt. Es ist vollkommen schnurz, ob das Roulettespiel fair oder nicht fair ist. Wichtig ist nur, daß P>0 ist. Das sichert einem nämlich, daß es keine unendlich lange Pechsträhne geben kann.

Es tritt somit immer der Fall ein, daß man irgendwann mal gewinnt. Es kommt lediglich darauf an, daß man mal ein einziges Einzelspiel gewinnt, da dies einem einen Betrag einspielt, von dem man alle zuvor gesetzten Einsätze ausgleichen kann und darüber hinaus auch noch den gewünschten Gewinnbetrag G realisiert.

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schweinebacke;4188770 schrieb:
Der Erwartungswert bei einer Verdopplungsstrategy mit Roullette und der Null ist negativ, da man aus einzelnen 'Spielen', die alle einen negativen Erwartungswert haben, keinen Gewinn in der Gesamtsumme ziehen kann.

Man verliert durch die Null ~1,35% des Einsatzes pro gespieltem Roulette Spiel.

Das und insbesondere dein letzter Satz ist grob falsch. Ein Erwartungswert ist ein mittlerer Wert. Der Erwartungswert für ein Einzelspiel ist beim Roulette tatsächlich negativ. Das heißt aber noch lange nicht, daß man aus mehreren Spielen keinen Gewinn in der Gesamtsumme ziehen könne.

Den Gegenbeweis liefert die Strategie, die hier die ganze Zeit diskutiert wird. Man spielt soviele Einzelspiele, bis man das erste davon gewinnt. Dabei wird in der Summe der gewünschte positive Gewinnbetrag G realisiert und alle zuvor getätigten und verlorenen Einsätze kompensiert.

Da die Gewinnwahrscheinlichkeit für ein Einzelspiel positiv ist, gibt es soetwas wie eine unendlich lange Pechsträhne nicht. Damit ist der Gewinnbetrag G sicher.

schweinebacke;4188770 schrieb:
Abbruch nach dem ersten Spiel:
Gewinn = Einsatz * (-0,015) [Verlust]

Abbruch nach spätestens dem zweiten Spiel:
Verlust = Einsatz * (~0,49) + Einsatz *(~ -0,51) + Einsatz * 2 * (-0,015) = -0,045 [Verlust}

Du hast die Strategie einfach noch nicht verstanden. Man bricht nicht spätestens immer nach dem ersten oder immer spätestens nach dem zweiten Spiel ab, sondern man bricht grundsätzlich immer nach dem ersten Gewinn ab. Dieser aber kann erst zu einem beliebigen (aber endlichen) Zeitpunkt kommen.

Damit man so vorgehen kann, braucht man genau zwei Dinge: Kein Kreditlimit und kein Tischlimit. Ist eines davon nicht gegeben, funktioniert die ganze Geschichte natürlich nicht.

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Paradox83;4188474 schrieb:
ich hab mir jetzt nicht den thread komplett durchgelesen, aber besser als die verdopplungsstrategie ist auf jedenfall die bold - strategie. langfristig ist aber auch bei dieser mit verlust zu rechnen.

Das ist auch nicht richtig. Die Verdopplungsstrategie ist im Falle fehlenden Kredit- und Tischlimits mit der bold strategy identisch und zudem nicht verlustbehaftet.
 

Benutzer78484 

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Das und insbesondere dein letzter Satz ist grob falsch. Ein Erwartungswert ist ein mittlerer Wert. Der Erwartungswert für ein Einzelspiel ist beim Roulette tatsächlich negativ. Das heißt aber noch lange nicht, daß man aus mehreren Spielen keinen Gewinn in der Gesamtsumme ziehen könne.

Den Gegenbeweis liefert die Strategie, die hier die ganze Zeit diskutiert wird. Man spielt soviele Einzelspiele, bis man das erste davon gewinnt. Dabei wird in der Summe der gewünschte positive Gewinnbetrag G realisiert und alle zuvor getätigten und verlorenen Einsätze kompensiert.
Der Erwartungswert dieser verdammten Spielsüchtigenstrategie ist eben nicht positiv. Klar wäre er es mit unendlich viel Geld, aber es gibt eben nicht unendlich viel Geld, nie never. Selbst wenn man soviel Geld hätte, wie Atome im Universum, wäre die Strategie immer noch ein Verlustgeschäft.

Oder mal anders gefragt, wie berechnet man diese postive Erwartung eines solchen Verdoppelungspiels? Es ist intuitiv klar, das irgendwann rot kommt und man seinen Einsatz wieder raus hat.
Man kann allerdings, wie ich es getan und was du nicht verstanden hast, den Erwartungswert berechnen, den man hat, wenn man nur eine bestimmte Geldsumme zur Verfügung hat("Abbruch" nach dem ersten, zweiten, ..., x-ten Spiel). Man wird hier immer auf einen negativen Erwartungswert kommen und das Negative wird immer grösser:

Grob angenommen die Bank hat 2% Vorteil:

Nur Geld für ein Spiel vorhanden:

1*0,49+(-1)*0,51=0,02

Nur Geld für zwei Spiele vorhanden:

1*0,49 + 0,51*[(-1) + 0,49*2 + 0,51*(-2) ] = -0,0404

and so on.

Der Verlust wird also sogar grösser, je mehr Geld ich zur Verfügung habe.

Wenn ich wirklich endlos Geld hätte, würde das ganze intuitiv irgendwann abbrechen und man hätte seinen ersten Einsatz wieder. Aus der einfachen Rechnung oben und (lim n -> inf) ergibt sich allerdings ein anderes Ergebniss, der Erwartungswert wäre auch für unendlich viel Geld (-unendlich).
 
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schweinebacke;4190047 schrieb:
Man kann allerdings, wie ich es getan und was du nicht verstanden hast, den Erwartungswert berechnen, den man hat, wenn man nur eine bestimmte Geldsumme zur Verfügung hat("Abbruch" nach dem ersten, zweiten, ..., x-ten Spiel). Man wird hier immer auf einen negativen Erwartungswert kommen und das Negative wird immer grösser:

Grob angenommen die Bank hat 2% Vorteil:

Nur Geld für ein Spiel vorhanden:

1*0,49+(-1)*0,51=0,02

Nur Geld für zwei Spiele vorhanden:

1*0,49 + 0,51*[(-1) + 0,49*2 + 0,51*(-2) ] = -0,0404

and so on.

Der Verlust wird also sogar grösser, je mehr Geld ich zur Verfügung habe.

Ich habe schon von Anfang an verstanden, was du hier machst. Du hast aber noch nicht verstanden, daß dies wenig bis gar nichts mit der Strategie zu tun hat, die hier diskutiert wird. Ich starte also einen neuen Versuch, wobei ich zunächst mal mit der Kommentierung der Punkte beginne, denen ich zustimme.

Für sich allein genommen ist der obige Absatz von dir vollkommen korrekt (bis auf das vergessene Minuszeichen vor der 0,02).

Wenn man die Strategie, wie ich sie in #23 beschrieben habe, so modifiziert, daß man nicht mehr grundsätzlich auf den ersten Gewinn eines Einzelspiels wartet, sondern das ganze grundsätzlich immer spätestens nach dem N-ten Einzelspiel abbricht, dann kann man sich überlegen, daß der Erwartungswert G_Mittel allgemein in kompakter Form gegeben wäre durch:

G_Mittel=G*{1-[A*(1-P)/(A-1)]^N}​

Für P=0,49, A=2 und G=$1 ergäbe das für N=1 den Erwartungswert G_Mittel=-$0,02, für N=2 den Erwartungswert G_Mittel=-$0,0404 usw.

Und du hast auch noch vollkommen recht, wenn du sagst, daß sich dieser Mittelwert immer stärker ins Negative verschiebt, je größer man N wählt.

So weit so gut. Gehen wir nun in deinem Beitrag weiter.

schweinebacke;4190047 schrieb:
Wenn ich wirklich endlos Geld hätte, würde das ganze intuitiv irgendwann abbrechen und man hätte seinen ersten Einsatz wieder. Aus der einfachen Rechnung oben und (lim n -> inf) ergibt sich allerdings ein anderes Ergebniss, der Erwartungswert wäre auch für unendlich viel Geld (-unendlich).

Der erste Satz ist noch völlig korrekt. Der zweite Satz bzw. die Aussage im letzten Halbsatz ist hingegen völlig falsch.

Es ist noch vollkommen korrekt, daß für N -> ∞ der Term G*{1-[A*(1-P)/(A-1)]^N} -> -∞ geht. Vollkommen falsch ist aber dein Glaube, daß man auf diese Weise den Erwartungswert für die Strategie erhält, die ich hier die ganze Zeit "propagiere".

Man kann nicht einfach Grenzwerte bilden wollen, wie man lustig ist, und dann meinen, das richtige Ergebnis dabei herauszubekommen. Das ist schon allein deshalb nicht erlaubt, weil es in der Mathematik die unterschiedlichsten Konvergenzbegriffe gibt, die jeweils für einen speziellen Zweck vorgesehen sind.

schweinebacke;4190047 schrieb:
Oder mal anders gefragt, wie berechnet man diese postive Erwartung eines solchen Verdoppelungspiels?

Um dir jetzt diese Frage zu beantworten:
Für die Berechnung von Erwartungswerten ist einzig und allein eine Definition maßgeblich, die da (vereinfacht) lautet:

Sei Ω ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß W. Sei Y eine Zufallsvariable auf Ω. Dann ist der Erwartungswert von Y (Notation: E(Y) oder auch Y_Mittel) definiert durch:

Y_Mittel = Summation von Y(x)* W(x) für alle Elemente x aus Ω​

Nur die sture Anwendung dieser Definition sichert einem immer ein richtiges Ergebnis für den Erwartungswert.

Bezogen auf die Strategie, die ich hier beschrieben habe, gilt:

  • Ω = {(k-1; 1) | k ist eine natürliche Zahl, d. h. 1, 2, 3,...}

    (Hierbei steht (k-1; 1) für diejenige Spielsituation, bei der man k Einzelspiele tätigt, von denen man nur das allerletzte gewinnt und alle davor am Stück verliert.)
  • Für das Wahrscheinlichkeitsmaß W auf Ω gilt:

    W[(k-1; 1)] = P*(1-P)^(k-1)

    (Hierbei ist P die Wahrscheinlichkeit, ein Einzelspiel zu gewinnen und W[(k-1; 1)] die Wahrscheinlichkeit, daß die Spielsituation (k-1; 1) realisiert wird.)
  • Für unsere Zufallsvariable Y gilt, daß sie uns sagt, wie groß der überschüßliche Gewinn ausfällt, wenn die Spielsituation (k-1; 1) realisiert wurde. Für jede dieser Spielsituationen nimmt Y den festen Wert G an, es ist also:

    Y[(k-1; 1)] = G

Wendet man nun hierauf die Definition für die Bildung des Erwartungswertes an, so erhält man:

G_Mittel = Y_Mittel = Summation von G*P*(1-P)^(k-1) für alle natürliche Zahlen k
= G*P + G*P*(1-P) + G*P*(1-P)^2 + ...
= G*{P + P*(1-P) + P(1-P)^2 + ...}

Da die Summe in geschweiften Klammern den Wert 1 hat, solange nur P>0 ist, gilt:

G_Mittel = G.​

schweinebacke;4190047 schrieb:
Der Erwartungswert dieser verdammten Spielsüchtigenstrategie ist eben nicht positiv. Klar wäre er es mit unendlich viel Geld, aber es gibt eben nicht unendlich viel Geld, nie never. Selbst wenn man soviel Geld hätte, wie Atome im Universum, wäre die Strategie immer noch ein Verlustgeschäft.

Wie ich dir also eben noch einmal gezeigt habe, ist der Erwartungswert dieser verdammten Spielsüchtigenstrategie positiv, sofern es kein Kredit- und kein Tischlimit gibt.

Im übrigen ist Geld an sich an nichts Materielles gebunden.
 

Benutzer78484 

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Zum Großteil hast du ja recht und ich mich unverständlich ausgedrückt.

Das man mit wirklich unendlich viel Kapital immer gewinnen wird, ist natürlich trivial. Deine Rechnung zeigt dies, aber im Prinzip ist das Ganze auch sehr einsichtig.

Der von mir berechnete Erwartungswert lässt sich so für jedes beliebig große N berechnen, allerdings kann man halt keinen Grenzübergang gegen unendlich machen.

Fakt ist aber doch wohl, das dieses Martingalespiel für alle realistischen Situationen einen negativen Erwartungswert hat. Niemand kann mit einer solchen Taktik Roulette für nennenswerte(im Vergleich zum Kapital) Gewinne schlagen.

Mit unendlich viel Geld (und Zeit!) kann man natürlich auch alle möglichen anderen Strategien spielen, die ebenso Gewinn versprechen dürften.
Ausserdem kann man mit unendlich viel Geld keinen Gewinn machen, undendlich viel bleibt unendlich viel, ob ich jetzt eine Einheit dazugewinne oder nicht :grin:
 
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Das man mit wirklich unendlich viel Kapital immer gewinnen wird, ist natürlich trivial. Deine Rechnung zeigt dies, aber im Prinzip ist das Ganze auch sehr einsichtig.

Der von mir berechnete Erwartungswert lässt sich so für jedes beliebig große N berechnen, allerdings kann man halt keinen Grenzübergang gegen unendlich machen.

Korrekt.

Fakt ist aber doch wohl, das dieses Martingalespiel für alle realistischen Situationen einen negativen Erwartungswert hat.

Korrekt. Niemand hat hier auch etwas anderes behauptet.

Niemand kann mit einer solchen Taktik Roulette für nennenswerte(im Vergleich zum Kapital) Gewinne schlagen.

Das wiederum ist völlig falsch. Man kann sehr wohl nennenswerte Gewinne mit dieser Taktik erzielen, selbst wenn man dazu die von mir beschriebene Strategie dahingehend modifiziert, daß man grundsätzlich immer spätestens nach einer bestimmten Anzahl N von Einzelspielen abbricht.

Das geht natürlich nur kurzfristig. Langfristig stellt sich immer der Verlust ein. Allerdings ist es so, daß sich dieser Verlust im Mittel erst um so später einstellt, je größer N gewählt wird, obwohl sich dabei gleichzeitig der Erwartungswert für den Spieler immer weiter ins Negative verschiebt.

Und genau aus diesem Grund gibt es bei Casinos auch Tischlimites. Damit wird dafür gesorgt, daß sich das N für Martingal-Spieler in einem Rahmen bewegt, wo zwar der langfristige positive Erwartungswert für das Casino bei einem Martingal-Spiel nicht allzu groß ausfällt, dafür aber das Risiko des Casinos klein gehalten wird, zumindest kurzfristig nennenswerte Geldmengen an seine Martingal-Spieler zu verlieren.

Grundsätzlich ist der Erwartungswert nicht die alles entscheidende Kenngröße, die über die Sinnhaftigkeit einer Unternehmung entscheidet. Bestes Beispiel hierfür ist die Versicherungsindustrie. Gemittelt ist der Abschluß einer Versicherung gegen irgendwelche Schäden stets ein Verlustgeschäft für den Versicherungsnehmer (negativer Erwartungswert). Das heißt aber noch lange nicht, daß es nun sinnlos wäre, Versicherungen abzuschließen.

Umgekehrt ist ein positiver Erwartungswert für den Gewinn bei einem Spiel noch lange kein Grund, einen beliebig hohen Preis für eine Teilnahme an diesem Spiel zu bezahlen. Bestes Beispiel ist hier die St. Petersburger Lotterie. Der Erwartungswert für einen Gewinn ist hier sogar +∞, trotzdem wäre man nie bereit, einen beliebigen Preis für ein Los zu bezahlen, eben weil sich die ausgleichenden Gewinne im Mittel erst langfristig einstellen und man kurzfristig als Spieler eher einen großen Verlust erlitte, wenn der Lospreis entsprechend hoch gewählt würde.

Ausserdem kann man mit unendlich viel Geld keinen Gewinn machen, undendlich viel bleibt unendlich viel, ob ich jetzt eine Einheit dazugewinne oder nicht :grin:

Auch das ist falsch. :grin:

Ich rede nicht umsonst schon eine ganze Weile von Kreditlimites. Das Geld, das der Spieler für seine Einsätze verwendet, braucht ihm selber gar nicht zu gehören. Er selber kann auch vollkommen mittellos sein.

Alles was er braucht, ist einen unendlich potenten Kreditgeber wie z. B. eine Zentralbank, der ihm prinzipiell soviel Kredit gibt, wie er braucht. Das alles geschehe natürlich mit der einschränkenden Maßgabe, den Kredit irgendwann nach beliebiger (aber endlicher) Zeit wieder zurückzahlen zu müssen.

Am Ende hat der Spieler definitiv den Geldbetrag G gewonnen und die Schulden beim unendlich potenten Kreditgeber sind ausgeglichen. Der Spieler ist nachher auf jeden Fall reicher als vorher, da ihm der Betrag G nun für alle Ewigkeit gehört, obwohl er selber vorher vollkommen mittellos war.
 

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Was ist jetzt dein Problem? Für n=3 (bzw. k=4) gewinnst du im letzten Einzelspiel $16. Davon kannst du deine bisher getätigten Einsätze von $1+$2+$4+$8=$15 ausgleichen und hast anschließend noch genau die gewünschte Gewinnmenge G=$1 als Überschuß übrig.

Ich will jetzt nur darauf eingehen:

Ueberschuss? Dieser eine Dollar ist genau das, mit dem ich am Anfang eingstiegen bin. Und das Ereignis (Treffer im 4 Spiel) trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% ein.

Nach 4 Spielen hab ich also entweder 1$ effektiv gewonnen oder 1$ effektiv verloren (50:50).

Dafuer brauch ich kein System. Die gleiche Chance hat man auch schon nach nur einem Spiel.

Wenn man jetzt noch die NULL beruecksichtigt kann der Rat nur lauten: Lieber einmal alles auf eine einfache Chnace zu setzen und dann nach Hause zu gehen (entweder reich oder arm) als langsam aber sicher alles zu verheizen.
 
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Ich will jetzt nur darauf eingehen:

Ueberschuss? Dieser eine Dollar ist genau das, mit dem ich am Anfang eingstiegen bin. Und das Ereignis (Treffer im 4 Spiel) trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% ein.

Ja, Überschuß!

Ziel bei dem Beispiel ist es, genau 1$ zu gewinnen - nicht mehr und nicht weniger.

Beginnen tust du mit einem Kontostand von X. Das sei dein Guthaben bevor du das Casino betrittst. Dein erklärtes Ziel ist es nun, das Casino mit einem Kontostand von genau X+1$ zu verlassen, d. h. einen Gewinn von 1$ einzufahren (nicht mehr und nicht weniger).

Wir nehmen nun an, daß es im Casino kein Tischlimit gibt und du dein Konto beliebig überziehen darfst (kein Kreditlimit).

Um zum Schluß das Casino mit einem Guthaben von X+1$ verlassen zu könnnen, gehst du nach der Verdopplungsstrategie vor und spielst NUR genau so viele Einzelspiele, bis du das erste davon gewinnst. Sobald du das erste Einzelspiel gewonnen hast, verläßt du ohne Wenn und Aber das Casino und schaust dir nun deinen neuen Kontostand an.

Nehmen wir nun mal exemplarisch an, daß du erst im vierten Einzelspiel gewinnst, d. h. die ersten drei Einzelspiele verlierst du alle ausnahmslos.

Wie sehen nun deine Einsätze und Kontostände aus?

Vor dem allerersten Einzelspiel ist dein Kontostand noch X.

1. Einzelspiel
Du hebst 1$ von deinem Konto ab, um den Einsatz für das erste Einzelspiel aufbringen zu können. Dein Kontostand ist nun X-1$. Da du das erste Einzelspiel verlierst, bleibt es unmittelbar nach diesem Einzelspiel bei deinem Kontostand von X-1$.

2. Einzelspiel
Nun hebst du 2$ von deinem Konto ab, um den Einsatz für das zweite Einzelspiel aufbringen zu können. Dein Kontostand ist nun X-3$. Da du auch das zweite Einzelspiel verlierst, bleibt es unmittelbar nach diesem Einzelspiel bei deinem Kontostand von X-3$.

3. Einzelspiel
Nun hebst du 4$ von deinem Konto ab, um den Einsatz für das dritte Einzelspiel aufbringen zu können. Dein Kontostand ist nun X-7$. Da du auch das dritte Einzelspiel verlierst, bleibt es unmittelbar nach diesem Einzelspiel bei deinem Kontostand von X-7$.

4. Einzelspiel
Nun hebst du 8$ von deinem Konto ab, um den Einsatz für das vierte Einzelspiel aufbringen zu können. Dein Kontostand ist nun X-15$. Da du das vierte Einzelspiel nun endlich mal gewinnst, zahlt dir das Casino genau das Doppelte deines allerletzten Einsatzes aus (wegen 1:1). Das Casino zahlt dir also 16$ und das ergibt mit deinem letzten Kontostand verrechnet einen neuen Kontostand von X+1$.

Nun verläßt du zwingend das Casino und vergleichst deinen Kontostand nach Verlassen des Casinos mit dem Kontostand, den du unmittelbar vor Betreten des Casinos hattest. Dabei stellst du überrascht fest, daß du das Casino mit einem Plus von 1$ verlassen hast. Das heißt, du hast genau 1$ Überschuß=Gewinn erwirtschaftet.

Nach 4 Spielen hab ich also entweder 1$ effektiv gewonnen oder 1$ effektiv verloren (50:50).

Nein, nach vier Spielen hast du entweder effektiv 1$ gewonnen, oder aber du hast - solltest du auch das vierte Einzelspiel verlieren - (vorerst) deine bisherigen Einsätze von 1$+2$+4$+8$=15$ verloren. Du verläßt deshalb das Casino noch nicht, sondern setzt die Einzelspiel-Reihe zwingend solange fort, bis du endlich mal ein einziges Einzelspiel gewinnst und aus der daraus endlich resultierenden Auszahlung des Casinos all deine bisher getätigten Einsätze wieder reinholst und darüberhinaus auch noch den gewünschten Überschuß von 1$ als Gewinn erwirtschaftest.

Wie lange auch immer du im Casino verbringen mußt, um ein einziges Einzelspiel zu gewinnen, das Casino verläßt du im Anschluß immer mit einem Kontostand von X+1$.

Wenn man jetzt noch die NULL beruecksichtigt kann der Rat nur lauten: Lieber einmal alles auf eine einfache Chnace zu setzen und dann nach Hause zu gehen (entweder reich oder arm) als langsam aber sicher alles zu verheizen.

Du kannst gern noch die Null berücksichtigen. Das ändert nichts daran, daß die Gewinnwahrscheinlichkeit für ein Einzelspiel immer noch größer als 0 ist. Damit ist eine unendliche Pechsträhne ausgeschlossen und du verläßt das Casino nach unbekannter (aber endlicher) Zeit mit einem Kontostand von X+1$.

Am Auszahlungsfaktor im Gewinnfalle von 2 (wegen 1:1) ändert sich so oder so nichts, so daß die Strategie mit dem Verdoppeln der Einsätze im Verlustfall wie gehabt durchgeführt wird, selbst wenn es jetzt noch die NULL gibt.

Es wird niemals die Situation eintreten, daß du das Casino mit einem anderen Kontostand als X+1$ verläßt. Damit ist der Erwartungswert für den Gewinn, mit dem du das Casino verläßt, exakt 1$ und damit positiv.
 

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Wir drehen uns im Kreis.

An dieser Stelle kann ich wiederum nur entgegnen: Es gibt keinen Grund, warum man ueberhaupt jemals ein Spiel gewinnen sollte.

Die Wahrscheinlichkeit das erste Spiel zu verlieren ist genauso gross wie die, das n-te oder das (n+1)te zu verlieren.

Diese Argumentation gilt in der Mathematik unter dem Namen vollstaendige Induktion als Beweisverfahren.
 
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Wir drehen uns im Kreis.

An dieser Stelle kann ich wiederum nur entgegnen: Es gibt keinen Grund, warum man ueberhaupt jemals ein Spiel gewinnen sollte.

Ich habe dir doch aber schon bewiesen, daß es nicht möglich ist niemals ein Spiel zu gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit für eine unendlich lange Pechsträhne ist null.

Mal eine ganz dumme Frage:
Angenommen, die Wahrscheinlichkeit für eine unendlich lange Pechsträhne wäre nicht null, wie groß ist sie dann deiner Meinung nach?

Die Wahrscheinlichkeit das erste Spiel zu verlieren ist genauso gross wie die, das n-te oder das (n+1)te zu verlieren.

Diese Argumentation gilt in der Mathematik unter dem Namen vollstaendige Induktion als Beweisverfahren.

Daß die Wahrscheinlichkeit, das erste Einzelspiel zu verlieren genauso groß ist wie die, das n-te oder (n+1)-te Einzelspiel zu verlieren, da hast du vollkommen recht, auch wenn das rein gar nichts mit vollständiger Induktion zu tun hat, aber egal.

Der Punkt ist, daß hierbei nicht die Wahrscheinlichkeiten für das Verlieren des n-ten Einzelspiels interessieren, sondern für das Eintreten einer konkreten Gewinnsituation, die immer aus einer Folge von Einzelspielen besteht.

Eine Folge hat dabei grundsätzlich immer die Struktur, daß sie aus n Einzelspielen besteht, wovon die ersten n-1 Einzelspiele verloren werden und erst das letzte gewonnen wird. Potentiell ist noch der Fall denkbar, daß man auf eine Folge stößt, die aus unendlich vielen am Stück verlorenen Einzelspielen besteht - die ominöse unendliche Pechsträhne eben.

Fakt ist nun, daß zwischen dem Betreten und dem Verlassen des Casinos nur eine einzige dieser von mir beschriebenen Spielsituationen realisiert wird.

Jede dieser Spielsituationen wird mit einer anderen Wahrscheinlichkeit realisiert, die um so kleiner ist, je größer das n ist.

Besteht die realisierte Spielsituation aus n Einzelspielen, so ist die Wahrscheinlichkeit für deren Realisation durch P*(1-P)^(n-1) gegeben.

Darin spiegelt das P die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn des n-ten Einzelspiels wider, während (1-P)^(n-1) die Wahrscheinlichkeit für das Verlieren der ersten n-1 Einzelspiele widerspiegelt.

Stimmst du mir soweit zu?

Wenn ja, stimmst du mir dann auch dahingehend zu, daß eine unendlich lange Pechsträhne mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit realisiert wird, als die Spielsituation, bei der man erst n Einzelspiele spielen muß, ehe man das allerletzte davon gewinnt?
 

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Auch das ist falsch. :grin:

Ich rede nicht umsonst schon eine ganze Weile von Kreditlimites. Das Geld, das der Spieler für seine Einsätze verwendet, braucht ihm selber gar nicht zu gehören. Er selber kann auch vollkommen mittellos sein.

Alles was er braucht, ist einen unendlich potenten Kreditgeber wie z. B. eine Zentralbank, der ihm prinzipiell soviel Kredit gibt, wie er braucht. Das alles geschehe natürlich mit der einschränkenden Maßgabe, den Kredit irgendwann nach beliebiger (aber endlicher) Zeit wieder zurückzahlen zu müssen.

Am Ende hat der Spieler definitiv den Geldbetrag G gewonnen und die Schulden beim unendlich potenten Kreditgeber sind ausgeglichen. Der Spieler ist nachher auf jeden Fall reicher als vorher, da ihm der Betrag G nun für alle Ewigkeit gehört, obwohl er selber vorher vollkommen mittellos war.


Naja, das ist ein bißchen wie mit der Sankt Petersburger Lotterie. Bei dieser sollte man ja theoretisch bereit sein, endlos viel Einsatz für ein Spiel aufzubringen, da der Erwartungswert gegen unendlich geht bzw. divergiert.
Man hat zwar auf viele Spiele gesehen diesen Erwartungswert, praktisch wird man aber nie mehr als ein paar Euro gewinnen.
Bei Doublieren ist es irgendwie genau entgegengesetzt. Wer ein sehr großes Kapital mitbringt, wird mit fast gegen eins gehender Wahrscheinlichkeit mit Gewinn aus dem Spiel gehen. Es gibt zwar eine Chance des Pleite gehens, allerdings wird diese mit grösserer Bankroll kleiner, dementsprechend natürlich die Verluste größer. Die Verlustchance geht gegen null, der Verlust dagegen gegen unendlich.
Wer die erforderliche Summe aufbringt, um Roullette ohne großes Risiko zu schlagen, wird allerdings wohl bessere Möglichkeiten finden, Geld mit Geld zu verdienen, die Gewinne durch doppeln sind im Vergleich zum Kapital nunmal eher marginal. Mit geliehenem Geld sieht die Sache wohl anders aus, wobei es da schwierig werden dürfte, Geldgeber zu finden.
Mal abgesehen von den Tischlimits, die das effektive Kapital wie schon gesagt leider zu stark begrenzen, um das Risiko weit genug drücken zu können.
Off-Topic:
Xela, bist du Mathematiker? Spielst du Poker?
 
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Wer die erforderliche Summe aufbringt, um Roullette ohne großes Risiko zu schlagen, wird allerdings wohl bessere Möglichkeiten finden, Geld mit Geld zu verdienen, die Gewinne durch doppeln sind im Vergleich zum Kapital nunmal eher marginal.

Das ist wohl wahr.

Mit geliehenem Geld sieht die Sache wohl anders aus, wobei es da schwierig werden dürfte, Geldgeber zu finden.

Wir wollen ja auch nicht vergessen, daß die ganzen Betrachtungen in erster Linie im Rahmen eines Gedankenexperiments angestellt werden. Nichtsdestotrotz könnte zumindest prinzipiell jede Zentralbank beliebig viel Kredit gewähren, da sie nunmal Geld in beliebiger Menge bereitstellen kann. Dafür bedarf es noch nicht einmal materieller Banknoten.

Alternativ kann man das Spiel auch mit irgendeiner fiktiven Spielgeldwährung spielen.

Off-Topic:
Xela, bist du Mathematiker? Spielst du Poker?

Ich studiere Mathematik. Poker spiele ich nicht. Meine Kenntnis dieses Spiels beschränkt sich bis heute lediglich darauf, daß man dort mit Karten und um Geld spielt. Die Regeln kenne ich bereits nicht.
 

Benutzer15353 

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Ich studiere Mathematik.
Ich waere wirklich und ehrlich daran interessiert, wenn Du Deinen Matheprof auf diesen Thread hinweisen koenntest, bzw ihm das Problem schildern.

Ich bin gespannt darauf, seine Aussage zu lesen.

Wenn ja, stimmst du mir dann auch dahingehend zu, daß eine unendlich lange Pechsträhne mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit realisiert wird, als die Spielsituation, bei der man erst n Einzelspiele spielen muß, ehe man das allerletzte davon gewinnt?
Wenn n endlich ist: Ja! Und was sagt das jetzt aus?
 
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Wenn ja, stimmst du mir dann auch dahingehend zu, daß eine unendlich lange Pechsträhne mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit realisiert wird, als die Spielsituation, bei der man erst n Einzelspiele spielen muß, ehe man das allerletzte davon gewinnt?
Wenn n endlich ist: Ja! Und was sagt das jetzt aus?

Was das jetzt aussagt? Das sagt dann jetzt aus, daß die Wahrscheinlichkeit für die Realisation einer unendlich langen Pechsträhne - bezeichnen wir diese Wahrscheinlichkeit zur Abkürzung mit W[unendliche Pechsträhne] - zwingend Null sein muß!

Begründung:

Die Wahrscheinlichkeit für die Realisation der Spielsituation, die aus n Einzelspielen besteht, von denen alle bis auf das allerletzte verloren gehen, ist ja durch P*(1-P)^(n-1) gegeben.

Stimmst du mir zu?

Wenn nun, wie du selbst eingestehst, der Ausdruck P*(1-P)^(n-1) für jede (endliche) natürliche Zahl n stehts größer ist, als die Wahrscheinlichkeit W[unendliche Pechsträhne] für die Realisation einer unendlich langen Pechsträhne, dann gilt zunächst:

W[unendliche Pechsträhne] ≤ P*(1-P)^(n-1) für jede (endliche) natürliche Zahl n

Stimmst du mir auch hier zu?

Nehmen wir nun mal hypothetisch an, daß W[unendliche Pechsträhne] entgegen meiner Behauptung doch nicht gleich Null ist. Dann bedeutet das, daß W[unendliche Pechsträhne] > 0 sein muß.

Richtig?

Im Fall "W[unendliche Pechsträhne] > 0" ließe sich stets eine (endliche) natürliche Zahl n derart finden, daß die fettgedruckte Relation, die du selbst als gültig ansiehst, verletzt wäre.

Dazu wähle man die (endliche) natürliche Zahl n so, daß sie größer ist als der Term "1+log(W[unendliche Pechsträhne]/P)/log(1-P)".

Soll ich das näher erläutern, wie man auf "1+log(W[unendliche Pechsträhne]/P)/log(1-P)" kommt?

Daraus folgt, daß die Annahme W[unendliche Pechsträhne] > 0 nicht richtig sein kann, da sie nunmal zur fettgedruckten Relation, die du selbst als gültig ansiehst, im Widerspruch steht. Folglich bleibt nur noch W[unendliche Pechsträhne] = 0 übrig.

Damit ist erneut gezeigt, daß die Wahrscheinlichkeit für die Realisation einer unendlich langen Pechsträhne gleich Null ist.

#### Ende der Begründung ####​

Ich waere wirklich und ehrlich daran interessiert, wenn Du Deinen Matheprof auf diesen Thread hinweisen koenntest, bzw ihm das Problem schildern.

Ich bin gespannt darauf, seine Aussage zu lesen.

Seine Aussagen würden genauso lauten wie meine. Dafür lege ich meine Hand ins Feuer. Er wird dir das alles nicht sehr viel anders erklären können, als ich. Hinzu kommt, daß gar nicht richtig klar ist, was hier nun eigentlich das bzw. dein Problem ist.

Besteht das Problem lediglich darin, daß du nicht einsehen kannst, warum W[unendliche Pechsträhne] = 0 sein muß?

Wenn dem so ist, dann kann ich darauf nur entgegnen, daß ich dir inzwischen zwei unterschiedliche Beweise dafür angegeben habe. Wenn du mir immer noch nicht glaubst, dann kann das nur daran liegen, daß du entweder meinst, einen Fehler in meinen Beweisen entdeckt zu haben, oder aber daß du meine Ausführungen nicht verstehst.

Wenn du meinst, einen Fehler entdeckt zu haben, dann mußt du mir die enstsprechende Stelle nennen. Wenn du hingegen meine Ausführungen nicht verstehst, so braucht das keineswegs ein Mangel deinerseits zu sein. Du mußt mir einfach nur sagen, ab wann du mir nicht mehr gedanklich folgen kannst und was die Gründe dafür sind. Schreibe ich zu kompliziert, zu unübersichtlich, zu symbolüberfrachtet, zu viel, zu ...? Was ist es?
 

Benutzer15353 

Verbringt hier viel Zeit
Was das jetzt aussagt? Das sagt dann jetzt aus, daß die Wahrscheinlichkeit für die Realisation einer unendlich langen Pechsträhne - bezeichnen wir diese Wahrscheinlichkeit zur Abkürzung mit W[unendliche Pechsträhne] - zwingend Null sein muß!

Begründung:

Die Wahrscheinlichkeit für die Realisation der Spielsituation, die aus n Einzelspielen besteht, von denen alle bis auf das allerletzte verloren gehen, ist ja durch P*(1-P)^(n-1) gegeben.

Stimmst du mir zu?

Wenn nun, wie du selbst eingestehst, der Ausdruck P*(1-P)^(n-1) für jede (endliche) natürliche Zahl n stehts größer ist, als die Wahrscheinlichkeit W[unendliche Pechsträhne] für die Realisation einer unendlich langen Pechsträhne, dann gilt zunächst:

W[unendliche Pechsträhne] ≤ P*(1-P)^(n-1) für jede (endliche) natürliche Zahl n

Stimmst du mir auch hier zu?

Nehmen wir nun mal hypothetisch an, daß W[unendliche Pechsträhne] entgegen meiner Behauptung doch nicht gleich Null ist. Dann bedeutet das, daß W[unendliche Pechsträhne] > 0 sein muß.

Richtig?

Im Fall "W[unendliche Pechsträhne] > 0" ließe sich stets eine (endliche) natürliche Zahl n derart finden, daß die fettgedruckte Relation, die du selbst als gültig ansiehst, verletzt wäre.

Dazu wähle man die (endliche) natürliche Zahl n so, daß sie größer ist als der Term "1+log(W[unendliche Pechsträhne]/P)/log(1-P)".

Soll ich das näher erläutern, wie man auf "1+log(W[unendliche Pechsträhne]/P)/log(1-P)" kommt?

Daraus folgt, daß die Annahme W[unendliche Pechsträhne] > 0 nicht richtig sein kann, da sie nunmal zur fettgedruckten Relation, die du selbst als gültig ansiehst, im Widerspruch steht. Folglich bleibt nur noch W[unendliche Pechsträhne] = 0 übrig.

Damit ist erneut gezeigt, daß die Wahrscheinlichkeit für die Realisation einer unendlich langen Pechsträhne gleich Null ist.

Ich fasse mal kurz zusammen wie ich das verstandenen habe. Die Wahrscheinlichkeit einer Pechstraehne verringert sich mit der Anzahl der Spiele. Sie konvergiert gegen Null, so wie 1/x gegen Null konvergiert fuer x gegen unendlich.

Im Sinne der Analysis kann man also sagen, dass die Wahrscheinlichkeit fuer eine unendlich lange Pechstraehne = 0 ist.
Allerdings nur im Sinne der Grenzwertbetrachtung, man wird kein x oder n finden, fuer das die Annahme gilt.

Ist das soweit OK?
Das sehe ich auch so.

Wenn man so an die Sache herangeht
dann uebersiehst Du allerdings bei der ganzen Betrachtung :

Im gleichen Masse, wie die Verlustwahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert, konvergiert der effektive Verlust gegen unendlich.

Um jetzt einen Erwartungswert zu ermitteln (und darauf kommt es ja letztlich an), muesste man beide Groessen miteinander multiplizieren, was nicht definiert ist (ich hatte schon mal darauf hingewiesen) Damit ist der Ansatz unbrauchbar.

Ich hatte schonmal ein Post zum Thema Erwartungswert ohne Unendlichkeitsbetrachtung.


PS.: Dann frag doch mal Deinen Prof. Und eine Hand wuerde ich nicht so schnell ins Feuer legen -- man hat nur zwei!
 

Benutzer78484 

Planet-Liebe-Team
Moderator
Im gleichen Masse, wie die Verlustwahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert, konvergiert der effektive Verlust gegen unendlich.

Um jetzt einen Erwartungswert zu ermitteln (und darauf kommt es ja letztlich an), muesste man beide Groessen miteinander multiplizieren, was nicht definiert ist (ich hatte schon mal darauf hingewiesen) Damit ist der Ansatz unbrauchbar.


Ich hatte schonmal ein Post zum Thema Erwartungswert ohne Unendlichkeitsbetrachtung.
Das ist ja genau das trickreiche an der Sache. Für jede Anzahl N die die Zahl der Verdopplungen begrenzt hast du einen negativen Erwartungswert.

Wenn man allerdings immer solange spielt, bis einmal die Andere Farbe kommt, hat man immer genau einmal den Grundeinsatz Gewinn gemacht. Der Unterschied ist halt, das man sich nicht auf eine Anzahl N begrenzen darf.

Es sind einfach zwei unterschiedliche Fälle, die einen unterschiedlichen Erwartungswert liefern.

Der Verlust geht mit mehr als (Einsatz x 2^N), die Verlustwahrscheinlichkeit mit etwa (1/2)^N.
Für sehr große N ist die Verlustwahrscheinlichkeit einfach so nahe bei Null, das man sie vernachlässigen kann. Man macht zwar im Mittel immer mehr Verlust, allerdings treten die Verlustereignisse so selten auf, das man wohl eher von einem Meteoriten erschlagen wird.
 
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Benutzer

Gast
Ich fasse mal kurz zusammen wie ich das verstandenen habe. Die Wahrscheinlichkeit einer Pechstraehne verringert sich mit der Anzahl der Spiele. Sie konvergiert gegen Null, so wie 1/x gegen Null konvergiert fuer x gegen unendlich.

Im Sinne der Analysis kann man also sagen, dass die Wahrscheinlichkeit fuer eine unendlich lange Pechstraehne = 0 ist.
Allerdings nur im Sinne der Grenzwertbetrachtung, man wird kein x oder n finden, fuer das die Annahme gilt.

Ist das soweit OK?
Das sehe ich auch so.

Nein, soweit nicht ok.

Die Wahrscheinlichkeit W[unendliche Pechsträhne] für das Eintreten einer unendlich langen Pechsträhne ist eine feste Zahl, die vollkommen unabhängig von irgendwelchen x und n ist. Es gibt keine einzige Stelle, wo ich eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt habe, um herzuleiten, daß W[unendliche Pechsträhne]=0 sein muß.

Ich biete dir nun noch einen dritten und äußerst kurzen Beweis an, der hoffentlich so prägnant ist, daß ihn jeder versteht. Hier wirst du hoffentlich deutlich sehen können, daß da nirgendwo eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt werden muß, um auf das Resultat W[unendliche Pechsträhne]=0 zu kommen:

Beweis:
Es sei P>0 die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn eines Einzelspiels.

Eine unendliche Pechsträhne wird genau dadurch realisiert, daß das erste Einzelspiel verloren geht und im Anschluß eine unendliche Pechsträhne folgt.

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit für die Realisation einer unendlichen Pechsträhne ist das Produkt der Wahrscheinlichkeit für das Verlieren des ersten Einzelspiels und der Wahrscheinlichkeit für die Realisation einer anschließenden unendlichen Pechsträhne.

Mathematisch ausgedrückt heißt das also:

W[unendliche Pechsträhne] = (1-P)*W[unendliche Pechsträhne]​

Wir addieren nun auf beiden Seiten den Term (P-1)*W[unendliche Pechsträhne]. Dadurch ergibt sich:

P*W[unendliche Pechsträhne] = 0​

Da P von Null verschieden ist, können wir die letzte Gleichung schadlos durch P dividieren und erhalten erneut als Endresultat:

W[unendliche Pechsträhne] = 0

#### Ende des Beweises ####​

Auch hier kommen keinerlei Grenzwertbildungen vor.

Damit der Fall überhaupt eintreten kann, daß man unendlich großen Verlust erleidet, sollte die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Falles schon größer als Null sein. Hier ist sie es aber definitiv nicht. Da in allen anderen realisierbaren Fällen tatsächlich ein Gewinn erzielt wird, ist der Erwartungswert für den Gewinn positiv (zumindest für die Strategie, um die es hier geht).

PS.: Dann frag doch mal Deinen Prof. Und eine Hand wuerde ich nicht so schnell ins Feuer legen -- man hat nur zwei!

Keine Sorge, so schnell lege ich meine Hände nicht ins Feuer. Daß ich diese Wendung trotzdem gebrauche, soll nur verdeutlichen, wie sicher ich mir meiner Sache bin.

Eines kann ich dir aber versichern, ich werde meine Professoren nicht mit dem Durchlesen dieses Threads behelligen. Die Leute haben wirklich Wichtigeres zu tun, als sich durch kilometerlange, müßige Diskussionen zu quälen. Das macht allein schon deshalb keinen Sinn, weil nach wie vor unklar ist, zu welchem Problem sie sich nun konkret äußern sollen.

Welche konkrete Frage sollte ich ihnen denn überhaupt stellen?

Damit das ganze jetzt nicht so aussieht, als würde ich mich feige zurückziehen wollen, mache ich dir alternativ den folgenden Vorschlag: Wähle einen Mathematikprofessor deiner Wahl und stelle ihm die Frage, die du ihm im Zusammenhang mit diesem Thread gern stellen möchtest. Anschließend darfst du das Ergebnis hier posten.
 

Benutzer15353 

Verbringt hier viel Zeit
Ich geb auf.


Du musst Deinen Prof nicht dazu noetigen, den ganzen Thread zu lesen, er kennt das Paradoxon hoechst wahrscheinlich sowieso bereits.

Ich bin in kein universitaeres Umfeld eingebunden, sonst wuerde ich tatsaechlich zu meinem Prof gehen und ihn fragen.

Edit:
Noch ein Nachschlag:

Woran Dein ganzer Beweis scheitert, der "Erwartungswert".

Einfaches Beispiel: Man setze auf eine einfache Farbe und gewinne.

Sollten die Regeln vorsehen, dass man bei 1$ Eisatz 50ct gewinnt ist das etwas anderes als wuerde man bei 1$ Einsatz 10$ gewinnen.

Beides ist natuerlich nicht realistisch, aber waere therotisch moeglich.
Ich kann nicht erkennen, an welcher Stelle dieser Unterschied in Deinen Beweis einfliesst.


Jetzt faellt mir gerade ein, dass Du (glaube ich) irgendwo geschrieben hast, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit nebensaechlich sei (Stichwort NULL)


Also ich resigniere nun endgueltig.
 
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Benutzer

Gast
Off-Topic:
Ich geb auf.
[...]
Also ich resigniere nun endgueltig.

Du brauchst hier nicht "aufgeben" oder "resignieren". Wir sind hier doch nicht in einem Wettbewerb, wo es um Triumph oder Niederlage geht. Ziel ist es doch lediglich, Denkfehler aufzudecken und auszuräumen. Dieses Ziel ist doch aber in unser beider Interesse.

Du musst Deinen Prof nicht dazu noetigen, den ganzen Thread zu lesen, er kennt das Paradoxon hoechst wahrscheinlich sowieso bereits.

Ich bin in kein universitaeres Umfeld eingebunden, sonst wuerde ich tatsaechlich zu meinem Prof gehen und ihn fragen.

Dazu brauchst du nicht in ein universitäres Umfeld eingebunden zu sein. Jeder Matheprof ist heutzutage auch per Email zu erreichen. Der Kontakt ist also nicht das Problem. Das eigentliche Problem aber, was nach wie vor besteht, ist die Frage zu formulieren, die du dem Prof überhaupt stellen möchtest.


Edit:
Noch ein Nachschlag:

Woran Dein ganzer Beweis scheitert, der "Erwartungswert".

Einfaches Beispiel: Man setze auf eine einfache Farbe und gewinne.

Sollten die Regeln vorsehen, dass man bei 1$ Eisatz 50ct gewinnt ist das etwas anderes als wuerde man bei 1$ Einsatz 10$ gewinnen.

Beides ist natuerlich nicht realistisch, aber waere therotisch moeglich.
Ich kann nicht erkennen, an welcher Stelle dieser Unterschied in Deinen Beweis einfliesst.

Der notwendige Einsatz zum Erzielen des Gewinns von 1$ ist bei der fraglichen Strategie vollkommen variabel und davon abhängig, für welches zufällige k die Spielsituation (k-1; 1) realisiert wird.

Zwischen Betreten und Verlassen des Casinos wird entweder die Spielsituation (0; 1) realisiert, oder die Spielsituation (1; 1), oder die Spielsituation (2;1) oder die Spielsituation (3280; 1)... Welche davon realisiert wird, ist vollkommen zufällig, aber genau eine davon wird realisiert werden. (Eine unendliche Pechsträhne könnte theoretisch ebenfalls realisiert werden, scheidet aber für P>0 wegen einer Eintrittswahrscheinlichkeit von W[unendliche Pechsträhne]=0 aus.)

Wenn nun z. B. die Spielsituation (7; 1) realisiert wird, dann verlierst du die ersten sieben Einzelspiele und gewinnst erst im achten Einzelspiel. Für die acht Einzelspiele tätigst du insgesamt Einsätze in Höhe von 1$+2$+4$+8$+16$+32$+64$+128$=255$. Da du im achten Einzelspiel gewinnst und dort einen Einsatz von 128$ getätigt hast, zahlt dir das Casino hierauf wegen des Auszahlungsverhältnisses von 1:1 genau 256$ aus. Mit diesen 256$ werden nun deine bisher ausgegebenen Einsätze von 255$ vollständig ausgeglichen und du verläßt das Casino mit einem überschüßlichen Plus von 1$.

Dieses überschüßliche Plus von 1$ erzielst du immer, egal ob zwischen Betreten und Verlassen des Casinos nun zufällig die Spielsituation (3; 1) oder die Spielsituation (378; 1) realisiert wird. Folglich ist der Erwartungswert für dieses überschüßliche Plus ebenfalls exakt 1$ und somit positiv und damit vorteilhaft.
___________________________________

Mir scheint es so, als würdest du dich momentan daran stoßen, daß man zur Realisation eines Gewinns von lediglich 1$ gelegentlich Einsätze in Höhe von insgesamt 255$ tätigen muß, wie etwa dann, wenn zufällig zwischen Betreten und Verlassen des Casinos gerade die Spielsituation (7; 1) realisiert wird. Hierzu will ich dir mal ein weitgehend analoges Beispiel bringen, was dir vielleicht einleuchtender ist:

Stell dir vor, du erhältst die Chance, heute ein Unternehmen zu erwerben, das heute 10000$ kostet und sich morgen mit Sicherheit zu 10001$ verkaufen ließe.

Ist dieses Geschäft vorteilhaft? Ja, das ist es. Du mußt zwar heute einen Einsatz von 10000$ bringen, erhältst morgen aber 10001$ zurück, wovon du deine getätigten Einsätze in Höhe von 10000$ ausgleichen kannst und zusätzlich noch mit Sicherheit ein überschüßliches Plus von 1$ realisierst.

Genauso vorteilhaft ist, wenn man im Casino die Strategie realisiert, die hier diskutiert wird. Wird zwischen Betreten und Verlassen des Casinos zufällig die Spielsituation (7; 1) realisiert, so mußt du zwar Einsätze in Höhe von insgesamt 255$ tätigen, dafür bekommst du im Anschluß aber vom Casino 256$ für den Gewinn im achten Einzelspiel ausgezahlt. Insgesamt bleibt dir ein überschüßliches Plus von 1$ übrig.

Wird allgmein die Spielsituation (k-1; 1) realisiert, wobei das fragliche k zufällig ist, so mußt du auf die k Einzelspiele verteilt insgesamt Einsätze in Höhe von (2^k - 1)$ tätigen. Allerdings bekommst du für den Gewinn des k-ten und damit letzten Einzelspiels vom Casino genau 2^k$ ausgezahlt. Damit werden deine getätigten Einsätze komplett ausgeglichen und du hast ein überschüßliches Plus von 1$ erwirtschaftet, was mit Sicherheit vorteilhaft ist.

Jetzt faellt mir gerade ein, dass Du (glaube ich) irgendwo geschrieben hast, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit nebensaechlich sei (Stichwort NULL)

Ja, das habe ich geschrieben.

Es kommt nämlich nur darauf an, daß eine Spielsituation (k-1; 1) für ein zufälliges k realisiert wird. In jeder dieser Spielsituationen erzielst du nämlich die 1$ Überschuß.

Die einzige Spielsituation, die einem einen Verlust bringen würde, wäre die unendliche Pechsträhne. Genau diese Spielsituation kann aber nicht realisiert werden, sobald P>0 ist. Dabei spielt es in der Tat keine Rolle, ob nun P=50% oder P=49% oder P=10% ist.

Daran, daß man in jeder der zufällig realisierten Spielsituationen (k-1; 1) genau 1$ Überschuß erwirtschaftet, ändert sich mit der Wahl von P ebenfalls überhaupt nichts. Das einzige ist, daß große k (und damit längere endliche Pechsträhnen) um so wahrscheinlicher werden, je kleiner P gewählt wird. Eine unendliche Pechsträhne wird aber trotzdem nicht realisiert werden, solange nur P minimal größer als 0 ist.
 
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