Mathematikproblem

Benutzer44981 

Planet-Liebe Berühmtheit
mein Taschenrechner (TI-89) spuckt folgende Dinge raus:
Ich bezeichne jetzt mal alpha als x und beta als y, um mir die elende Schreibarbeit mit alpha und beta zu ersparen.

∂h/∂x = a * (sin:thumbsup:)^2 / [cos(x) * sin:thumbsup: - sin(x) * cos:thumbsup:]^2

∂h/∂y = -a * (sin(x))^2 / [cos:thumbsup: * sin(x) - sin:thumbsup: * cos(x)]^2

Ohne Taschenrechner könnte ich aber die Funktion h spontan auch nicht ohne weiteres ableiten...
evtl. wenn ich jeweils tan(x) durch sin(x)/cos(x) ersetze...
Zum Glück muss ich das jetzt nicht machen :grin:

Das in die Formel (6) einbauen und ins Programm reinschreiben, um delta h / h zu berechnen.

Wie du allerdings an dein delta alpha und delta beta kommen sollst, weiß ich selbst nicht wirklich.
Das Programm soll ja nur 2 Messwerte (alpha_1, beta_1) und (alpha_2, beta_2) entgegen nehmen... Für eine sinnvolle Fehlerrechnung sollten es da schon etwas mehr Messwerte sein, so dass man die Standardabweichung der Messwerte vom Mittelwert berechnen kann.
Bei nur 2 Messwerten würde ich einfach die Differenz als Fehler nehmen, wenn sonst nichts dazu da steht, also:
delta alpha = abs(alpha_2 - alpha_1)
delta beta = abs(beta_2 - beta_1)
(oder man braucht auch schon da die Standardabweichung vom Mittelwert der 2 Messwerte - dafür weiß ich die Formel aber grad nicht auswendig)

Als Ausgabe h würde ich den Mittelwert der beiden berechneten h_1 und h_2 nehmen (also einmal alpha_1 und beta_1 in die Formel einsetzen, dann das gleiche mit alpha_2 und beta_2 und aus den 2 Werten dann der Mittelwert).

Ich hoffe mal, das stimmt so weit...
Alle Sachen, die nach den Ableitungen kommen, sind aber nur reine Spekulationen und ich bin mir nicht ganz sicher.
 

Benutzer15499 

Verbringt hier viel Zeit
mein Taschenrechner (TI-89) spuckt folgende Dinge raus:
Ich bezeichne jetzt mal alpha als x und beta als y, um mir die elende Schreibarbeit mit alpha und beta zu ersparen.

∂h/∂x = a * (sin:thumbsup:)^2 / [cos(x) * sin:thumbsup: - sin(x) * cos:thumbsup:]^2

∂h/∂y = -a * (sin(x))^2 / [cos:thumbsup: * sin(x) - sin:thumbsup: * cos(x)]^2

Ohne Taschenrechner könnte ich aber die Funktion h spontan auch nicht ohne weiteres ableiten...
evtl. wenn ich jeweils tan(x) durch sin(x)/cos(x) ersetze...
Zum Glück muss ich das jetzt nicht machen :grin:

Das in die Formel (6) einbauen und ins Programm reinschreiben, um delta h / h zu berechnen.

Ich hab nicht mal einen Taschenrechner, der das kann :geknickt:


Wie du allerdings an dein delta alpha und delta beta kommen sollst, weiß ich selbst nicht wirklich.

Das ist die Differenz zwischen den beiden Meßwerten, denke ich...

Das Programm soll ja nur 2 Messwerte (alpha_1, beta_1) und (alpha_2, beta_2) entgegen nehmen... Für eine sinnvolle Fehlerrechnung sollten es da schon etwas mehr Messwerte sein, so dass man die Standardabweichung der Messwerte vom Mittelwert berechnen kann.
Bei nur 2 Messwerten würde ich einfach die Differenz als Fehler nehmen, wenn sonst nichts dazu da steht, also:
delta alpha = abs(alpha_2 - alpha_1)
delta beta = abs(beta_2 - beta_1)
(oder man braucht auch schon da die Standardabweichung vom Mittelwert der 2 Messwerte - dafür weiß ich die Formel aber grad nicht auswendig)

Als Ausgabe h würde ich den Mittelwert der beiden berechneten h_1 und h_2 nehmen (also einmal alpha_1 und beta_1 in die Formel einsetzen, dann das gleiche mit alpha_2 und beta_2 und aus den 2 Werten dann der Mittelwert).

Ich hoffe mal, das stimmt so weit...
Alle Sachen, die nach den Ableitungen kommen, sind aber nur reine Spekulationen und ich bin mir nicht ganz sicher.

Wir sollen die zu erwartende Objekthöhe nach Mittelwertbildung der jeweiligen Winkel berechnen, dann die Fehlerverstärkung gemäß der Gleichungen 4 bzw 5, den maximalen relativen Fehler (Δh/h)max gemäß Gleichung 6 und den wahrscheinlichen relativen Fehler Δh/h gemäß Gleichung 7.

Aber das will ich dann auch erstmal selbst probieren, wenn ich die Ableitung endlich geschafft habe, wenn möglich bevor sie mich schafft :mad:
 

Benutzer15499 

Verbringt hier viel Zeit
So, ich hab jetzt auch mal was raus...

und zwar für die Gleichung (2)
Δh=a*((tanβ^2)/(cosα^2*(tanβ-tanα)^2))*Δα+a*((tanα^2)/(cosβ^2*(tanβ-tanα)^2))*Δβ

Ist aber nicht mit dem identisch, das ihr raus habt :geknickt:
 
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Benutzer

Gast
So, ich hab jetzt auch mal was raus...

und zwar für die Gleichung (2)
Δh=a*((tanβ^2)/(cosα^2*(tanβ-tanα)^2))*Δα+a*((tanα^2)/(cosβ^2*(tanβ-tanα)^2))*Δβ

Ist aber nicht mit dem identisch, das ihr raus habt :geknickt:

Deins ist aber fast richtig, vorausgesetzt tanβ^2, cosβ^2 ... stehen bei dir für (tanβ)^2, (cosβ)^2 usw. Es fehlt nur ein Minuszeichen vor dem zweiten Summanden, das beim Setzen der Betragsstriche später aber sowieso wieder wegfällt.

Jetzt mußt du nur noch Betragsstriche an die beiden Summanden machen, um bei (3) anzukommen und dann bist du praktisch fertig.
 

Benutzer15499 

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Deins ist aber fast richtig, vorausgesetzt tanβ^2, cosβ^2 ... stehen bei dir für (tanβ)^2, (cosβ)^2 usw. Es fehlt nur ein Minuszeichen vor dem zweiten Summanden, das beim Betragsstriche setzten aber wieder wegfällt.

Jetzt mußt du nur noch Betragsstriche an die beiden Summanden machen, um bei (3) anzukommen und dann bist du praktisch fertig.


ja, das soll eigentlich jeweils tan^2β oder (tan β)^2 etc heißen. Fand das erste zu unübersichtlich und hab dann die Klammer vergessen :schuechte

Also vor dem zweiten Teil ein Minus? Ich habs mal rot markiert...

Δh=a*((tanβ^2)/(cosα^2*(tanβ-tanα)^2))*Δα-a*((tanα^2)/(cosβ^2*(tanβ-tanα)^2))*Δβ
 
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Benutzer

Gast
ja, das soll eigentlich jeweils tan^2β oder (tan β)^2 etc heißen. Fand das erste zu unübersichtlich und hab dann die Klammer vergessen :schuechte

Also vor dem zweiten Teil ein Minus? Ich habs mal rot markiert...

Δh=a*((tanβ^2)/(cosα^2*(tanβ-tanα)^2))*Δα-a*((tanα^2)/(cosβ^2*(tanβ-tanα)^2))*Δβ

Genau! Aber in Gleichung (3) wird daraus dann wieder:

Δh=|a|*((tanβ^2)/(cosα^2*(tanβ-tanα)^2))*|Δα|+|a|*((tanα^2)/(cosβ^2*(tanβ-tanα)^2))*|Δβ|
 

Benutzer15499 

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Genau! Aber in Gleichung (3) wird daraus dann wieder:

Δh=|a|*((tanβ^2)/(cosα^2*(tanβ-tanα)^2))*|Δα|+|a|*((tanα^2)/(cosβ^2*(tanβ-tanα)^2))*|Δβ|

Hmm...dann hab ich da irgendwo einen Vorzeichenfehler reingemacht, daß das nicht stimmt. Aber jetzt weiß ich es ja :smile:

Danke für deine Hilfe!
Off-Topic:
Kann dich leider nicht positiv für deine Hilfe bewerten, weil ich seit meiner letzten Bewertung noch nicht wieder genug Leute bewertet habe :geknickt:
 

Benutzer15499 

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Also, wir sitzen jetzt zu zweit hier, haben drei mögliche Ableitungen und insgesamt vier verschiedene Ergebnisse :hmm:

Worüber ich bzw wir sehr dankbar wären, wenn jetzt jemand schrittweise seine Ableitung hier reinschreiben könnte... Das ist wirklich frustrierend...

Edit sagt, daß wirs geschafft haben :smile: Zwei verschiedene Ableitungen, aber das identische Ergebnis :smile:
 
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Benutzer

Gast
Edit sagt, daß wirs geschafft haben :smile: Zwei verschiedene Ableitungen, aber das identische Ergebnis :smile:

Also wie gesagt: Die Ableitung, die du gestern hier reingeschrieben hast, ist - bis auf das eine Minuszeichen - korrekt. Ebenso sind auch die von banane0815 stammenden, partiellen Ableitungen korrekt. Falsch sind lediglich die partiellen Ableitungen, die dk85 angegeben hat - leider.

edit: Die Ableitungen von dk85 sind doch richtig. Ich hatte lediglich eine Klammer übersehen.
 

Benutzer44981 

Planet-Liebe Berühmtheit
Es kann gut sein, dass sich hier 2 "verschiedene" Lösungen als ein und die selbe Lösung herausstellen.

- Du kannst einen Bruch ganz unterschiedlich darstellen (z.B. Summe mehrerer Brüche oder alles auf den Hauptnenner bringen... da gibt es sehr viele Möglichkeiten)
- Es ist tan(x) = sin(x) / cos(x). Damit kann man bei solchen Termen auch viel rumwursteln.
- Es gibt noch viele andere Möglichkeiten, wie man irgendwelche trigonometrischen Funktionen miteinander verwursteln kann.
 

Benutzer15499 

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Vielen Dank euch beiden :smile:

Es kann gut sein, dass sich hier 2 "verschiedene" Lösungen als ein und die selbe Lösung herausstellen.

Also wie gesagt: Die Ableitung, die du gestern hier reingeschrieben hast, ist - bis auf das eine Minuszeichen - korrekt. Ebenso sind auch die von banane0815 stammenden, partiellen Ableitungen korrekt. Falsch sind lediglich die partiellen Ableitungen, die dk85 angegeben hat - leider.

Ja, das weiß ich :smile: Wäre schlimm, wenn ich meinen Mathe-Lk ohne dieses Wissen hätte abschließen können :zwinker:
Das Problem war, daß wir drei verschiedene Darstellungen der Ableitung hatten, aber dann statt auf ein Ergebnis auf vier verschiedene Ergebnisse kamen. Aber das waren Fehler, die durch unsaubere Programmierung entstanden sind. Wenn man da in einer Zeile gefühlte 100 Klammern setzen muß, wird das leider sehr unübersichtlich und man vergißt schnell mal welche, die dann dummerweise auch noch so fehlen, daß der Term trotzdem vollständig ist, also keine Klammern offen bleiben oder zuviel geschlossen werden, sodaß da logischerweise vom Kompiler auch keine Warnungen kommen.
Aber nachdem wir das bereinigt hatten, hat es funktioniert und wir haben jetzt zumindest identische Ergebnisse :smile:
Hoffentlich stimmen die Lösungen auch :smile:
 

Benutzer15499 

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Ich hab jetzt zwei Versionen meines Programms, bei der einen verwende ich meine Ableitung (die von xela korrigierte Version mit dem "-"), in der zweiten Version verwende ich die Ableitung von banane0815.

Jetzt bekomme ich für Vβ zwar betragsmäßig das identische Ergebnis raus, jedoch bei meiner Ableitung positiv, mit der von Banane0815 negativ.
Was stimmt jetzt? Muß es in meiner Ableitung vielleicht doch ein Plus sein zwischen den Termen? Ich hab mir das heute vormittag nämlich nochmal angeschaut und bin wieder auf ein positives Ergebnis der Ableitung ∂h/∂β gekommen... :ratlos:
 
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Benutzer

Gast
Ich hab jetzt zwei Versionen meines Programms, bei der einen verwende ich meine Ableitung (die von xela korrigierte Version mit dem "-"), in der zweiten Version verwende ich die Ableitung von banane0815.

Dann müßte beide Male auch vorzeichenmäßig dasselbe herauskommen, da unsere Ableitungen identisch sind.

Deine von mir korrigierte Ableitung ist ja diese:

∂h/∂β=-a*((tanα^2)/(cosβ^2*(tanβ-tanα)^2))

Die von banane0815 ist diese:

∂h/∂β=-a * (sin(α))^2 / [cos(β) * sin(α) - sin(β) * cos(α)]^2

Beide Male hast du da dieses Minuszeichen. Es handelt sich beide Male um ein und dieselbe Ableitung, bloß ein bißchen anders aufgeschrieben. Folglich muß auch bei Vβ vorzeichenmäßig genau dasselbe herauskommen.
 

Benutzer15499 

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Dann müßte beide Male auch vorzeichenmäßig dasselbe herauskommen, da unsere Ableitungen identisch sind.

Deine von mir korrigierte Ableitung ist ja diese:

∂h/∂β=-a*((tanα^2)/(cosβ^2*(tanβ-tanα)^2))

Die von banane0815 ist diese:

∂h/∂β=-a * (sin(α))^2 / [cos(β) * sin(α) - sin(β) * cos(α)]^2

Beide Male hast du da dieses Minuszeichen. Es handelt sich beide Male um ein und dieselbe Ableitung, bloß ein bißchen anders aufgeschrieben. Folglich muß auch bei Vβ vorzeichenmäßig genau dasselbe herauskommen.

Ich weiß ja nicht, wie die zweite Ableitung entstanden ist, aber kann das nicht sein, daß das Minus von einer Ableitung von cos kommt? Daß im zähler eigentlich -sin steht und das Minus nur vorgezogen ist?

latex2pnggb4.png


Das hab ich mit einem Rechentool rausbekommen, das entspricht ja meiner ableitung, wenn man statt sec^2 x 1/cos^2 beta schreibt ... und das a wird bei der ableitung eigentlich nicht negativ, sondern bleibt einfach als faktor davor stehen...
 

Benutzer53379  (35)

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also das:

latex2pnggb4.png


ist genau das, was ich da auch raus habe für dh/dbeta (und es ist nicht das selbe wie)*:

∂h/∂β=-a*((tanα^2)/(cosβ^2*(tanβ-tanα)^2))

*ist doch das selbe!
 

Benutzer15499 

Verbringt hier viel Zeit
also das:

latex2pnggb4.png


ist genau das, was ich da auch raus habe für dh/dbeta und es ist nicht das selbe wie:

∂h/∂β=-a*((tanα^2)/(cosβ^2*(tanβ-tanα)^2))

doch, ist es! ersetze mal sec^2 x durch 1/cos^2 x, bilde dnan einen gemeinsamen nenner, indem du den ersten Term mit (tan x - tan a) erweiterst und dann ausmultiplizierst.

dann bekommst du nämlich im zähler: tan a * 1/cos^2x * tan x - tan^2 a * 1/cos^2 x + tan a * 1/cos x * tan x, wo du dann tan a * 1/cos ^2 x * tan x raussubtrahieren kannst!

Außerdem hast du nicht das selbe Ergebnis raus wie dieses Tool, wenn ich das richtig sehe...

ok, jetzt weiß ich auch, wo ich das fehlende - verloren habe :smile:

trotzdem bekomme ich mit den beiden Ableitungen nach Vorzeichen verschiedene Ergebnisse raus...
 

Benutzer53379  (35)

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ahh, ok sorry, dass ich das da so forsch behauptet habe, hast recht ist das selbe!!!
 

Benutzer15499 

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ahh, ok sorry, dass ich das da so forsch behauptet habe, hast recht ist das selbe!!!

macht ja nichts, ich hab auch ewig gebraucht...

das Problem ist, daß ich eben verschiedene Ergebnisse rausbekomme, obwohl beide Ableitungen richtig sind. Das mit dem Minus hab ich ja eben auch erst geblickt...
 
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