Mathe HILFE

Benutzer3753 

Verbringt hier viel Zeit
Kann mir mal einer helfen

Unter dem Abstand eines Punktes von einer Kurve versteht man die kürzeste Entfernung vom Punkt zur Kurve.

Berechne den Abstand des Punktes (3, 0.5)

a)von der Geraden mit der Gleichung y=2x+2

und

b)von der Parabel mit der Gleichung y=1,5xQuadrat +1


Hilfe das brauch ich für morgen für eine Präsentation
 

Benutzer10383 

Verbringt hier viel Zeit
Zuerst die Senkrechte zur Geraden ermitteln, die durch den vorgegebenen Punkt geht (müsste doch der kürzeste Weg sein oder nicht?) :

m1 = Steigung der Geraden
m2 = Steigung der Normalen (Senkrechten)
m1 * m2 = -1

y-0,5 = m2 * (x - 3)

y = m2 * x - m2 * 3 + 0,5 -> Funktioniesgleichung der Senkrechten, die durch den Punkt geht

Jetzt berechnest du den Schnittpunkt der Senkrechten mit der Geraden, und den Abstand dieser beiden Punkte (also dem Schnittpunkt und dem vorgegebenen Punkt) kriegste ja mitm Pythagoras raus.
Geht vielleicht noch irgendwie kürzer
Alles ohne Gewähr

Wies bei der Parabel aussieht, weiß ich leider nicht... (irgendwas mit 1. Ableitung...)
 

Benutzer6487 

Verbringt hier viel Zeit
Na, das mit der Parabel geht dann so:

Zwei Punkte (x,y)(x°,y°) haben den Abstand d²=(x-x°)²+(y-y°)² (Pythagoras, sollte klar sein, oder?)

Jetzt haben wir den Punk (3; 0,5) und die parabel (x;y(x))=(x;1,5x²+1)
Daraus folgt

d²=(3-x)²+(0,5-1,5x²-1)²
=(9-6x+x²)+(0,25+1,5x²+2,25x^4)=2,25x^4 +2,5x²-6x+9,25
So, jetzt ein Trick: Eigentlich müßte man die Wurzel ziehen, aber das würde gleich beim Ableiten unangenehm und sinnlos werden. Denn: Wenn d ein Minimum hat, dann hat d² an der gleichen Stelle ein Minimum. Gut, wenn d aus dem positiven ins negative geht, würde d² an der Stelle ebenfalls ein Minimum haben, aber das kann nicht passierten. Denn es ist ja d=Wurzel(...), und das wird nei negativ.
Lange Rede, kurzer Sinn, wir wollen wissen, für welches x der Abstand minimal ist. Statt dem Abstand nehmen wir den quadratsichen Abstand, das ist einfacher.
Wann ist etwas minimal? Wenn die Ableitung 0 ist! Also nach x ableiten!

(2,25x^4 +2,5x²-6x+9,25)'=9x³+5x-6=0

Gut, das löst man nicht so leicht, aber das einzige reelle Ergebnis ist x=2/3 (z.B. Cardansiche Formeln oder Newton-verfahren). Dann ist der Abstand wurzel(2,25*(2/3)^4 +2,5*(2/3)²-6*(2/3)+9,25)=2,6087


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Alternativ könnte man noch für jeden Punkt der Parabel die senkrechte Grade berechnen. Deren Steigung ist ja 1/y'(x), also 1/3x. Dazu ist ein Punkt, nämlich (x;y(x)) bekannt, daraus kann man dann die Gardengleichung berechnen. Ja, und diese Grade soll natürlich durch den Punkt (3; 0,5) gehen, woraus man dann wieder x berechnen kann.
Dieser rechenweg hat zwar keine schwierige kubische Gleichung, dafür aber ne Mords-Gardenformel, Viel zu unübersichtlich und kompliziert, aber sicherlich lösbar...
 
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