Schule Analysis

Benutzer74000 

Verbringt hier viel Zeit
Ganz allgemeine Frage zur Tangentenberchnung - daher am besten eine simple Funktion: f(x)=x²
Berechnet werden soll die Gleichung der durch den Punkt P (x/y) führenden Tangente an den Graphen der Funktion.
Wie geht das? (Wählt die Koordinaten von P so, wie es euch beliebt. Meinetwegen könnt Ihr auch eine andere Fkt. f(x) wählen. Mir geht es ja nur ums Prinzip.)
P.S.: Natürlich gibt es hier praktisch ZWEI Tangenten zu berechnen.

Danke für den Lösungsweg.
 

Benutzer89539 

Planet-Liebe-Team
Moderator
Die Tangente muss die gleiche Steigung haben wie f.
Die Steigung von f ist die erste Ableitung. Also musst du ein beliebiges x0 wählen, f(x0) und f'(x0) bestimmen, und eine Gerade bestimmen, die an der Stelle x0 den Wert f(x0) hat und die Steigung f'(x0) hat.
 

Benutzer10855 

Team-Alumni
Tangenten sind lineare Funktionen und haben die Form

y = f(x) = mx + n

Möchtest du nun eine Tangente an einem Punkt (x*/y*) einer Funktion g(x) packen, musst du zunächst g ableiten und schließlich g'(x*) ausrechnen. Damit hast du den Anstieg der Tangenten an der Stelle x*, also m = g'(x*). Als nächstes setzt du den Punkt (x*/y*) und m in die Gleichung für die Tangente ein und stellst um, um den Achsenabschnitt mit der y-Achse (also n) zu bestimmen. Mit m und n ist die Tangente dann eindeutig bestimmt.

Letzteres ist auch der Grund, warum es keine zwei Tangenten gibt. Was meinst du damit, dass du zwei Tangenten berechnen sollst?
 

Benutzer74000 

Verbringt hier viel Zeit
@ Fuchs

an die Graphen so ziemlich aller Funktionen lässt sich mehr als eine Tangente anlegen, welche durch einen bestimmten Punkt P (x/y) läuft. Ganz einfaches anschauliches Bsp.: f(x)=x²; P(0/-3)

Es sollte klar sein, dass es zwei Tangenten gibt; und aufgrund der Einfachheit des Beispiels - P(x)=0 (ist das eine korrekte Notation?) - wissen wir bereits dass für beide Tangenten n=-3 gilt. Aufgrund der Symmetrie ist auch schon klar, dass gilt: m(t1)=-m(t2)

Hat man eine "kurvenreichere" Fkt., also beispielsweise eine ganzrationale Fkt. höheren Grades, gibt es entsprechend mehr Tangenten, die durch einen bestimmetn Pkt. P(x/y) führen, und bei periodischen Fkten. auch unendlich viele.
 

Benutzer89563 

Meistens hier zu finden
Hallo!

Ich denke, das war einfach ein Mißverständnis. Bei diesen Aufgaben geht es in den meisten Fällen darum, die Tangente an eine Funktion zu finden, wobei der Berührpunkt gegeben ist.

Du suchst nun Tangenten, die durch einen völlig anderen, von der Funktion unabhängigen Punkt gehen.


Mach dir mal eine Skizze, und verbinde einen beliebigen Punkt B(x|f(x)) der Funktion mit einer Graden mit dem gegebenen Punkt P. Zeichne dann noch eine senkrechte Grade durch den einen Punkt, und eine waagerechte durch den anderen. Du siehst nun ein rechtwinkliges Dreieck, welches du als Steigungsdreieck für die Verbindungsgrade der beiden Punkte betrachten kannst.

Zeichne jetzt noch die Tangente durch B. Diese hat die Steigung f'(x).

Jetzt die Idee: die Verbindungsgrade und die Tangente gehen beide durch B. Wenn ihre Steigung auch noch identisch ist, dann sind die Graden ebenfalls identisch, und die Tangente durch B geht auch durch deinen Punkt P.

Praktisch gesehen bekommst du aus P und B(x|f(x)) die Katheten des Dreiecks, und damit die Steigung, die Steigung der Tangente ist ja einfach f'(x)
Setze beide Steigungen gleich, und versuche, alle Lösungen für x zu finden, für die die Gleichung erfüllt ist.



Alternativ kann man sich nen Ausdruck schnitzen, der für jedes x die Tangentengleichung an die Funktion berechnet. Und dann den Punkt P einsetzen, um zu schaun, ob er auf der Tangente liegt. Auch hier kann man nach den x suchen, für die es paßt.
 

Benutzer10855 

Team-Alumni
Ach, jetzt verstehe ich, was du meinst! :smile:

In diesem Fall hat Solitarius bereits erklärt, was dafür zu machen ist.
 

Benutzer74000 

Verbringt hier viel Zeit
@ Solitarius
also ich verstehe nur Bahnhof.

"...verbinde einen beliebigen Punkt B(x|f(x)) der Funktion mit einer Graden mit dem gegebenen Punkt P."
Bitte genauer: Was ist das jetzt für eine Gerade, die durch P läuft: eine waagerechte oder was für eine?

Ich soll eine Senkrechte durch P und eine Waagerechte durch B ziehen. Dazu sagst du: "Du siehst nun ein rechtwinkliges Dreieck, welches du als Steigungsdreieck für die Verbindungsgrade der beiden Punkte betrachten kannst." OK, wenn ich jetzt noch B und P verbinde habe ich ein Steigungsdreieck.

Weiter sagst du: "Jetzt die Idee: die Verbindungsgrade und die Tangente gehen beide durch B. Wenn ihre Steigung auch noch identisch ist, dann sind die Graden ebenfalls identisch, und die Tangente durch B geht auch durch deinen Punkt P."
Definitiv FALSCH! Die Tangente an B geht NICHT durch P, denn dein B ist ja ein ganz BELIEBIGER Punkt auf dem Graphen von f(x). Legt man von dem gegebenen Punkt P aus eine Tangente an f(x), so ist der Tangentialpunkt ein zz. nicht bekannter, also ZU BRECHNENDER Punkt, und habe ich diesen Punkt, lässt sich ohne Probleme die Verbindungsgerade mit P berechnen, welche die gesuchte Tangentialgleichung ist.

Wäre nett, wenn jmd. ein Beispiel tatsächlich mal richtig durchrechnen würde; sonst geht die Diskussion immer so weiter. Am besten eine einfache Fkt.: f(x)=x²; P (-2/-4)
Aufgabe: Berechnung der GleichungEN der Tangenten an f(x) führend durch P

So könnt auch mal prüfen, ob ihr die Sache tatsächlich selber kapiert habt.

---------- Beitrag hinzugefügt um 17:26 -----------

Übrigens: Wie komme ich eigentlich auf die Fragestellung?: Abiprüfung BW 2003 Aufgabe I1c: http://www.schule-bw.de/schularten/...en/abitur/aufgaben/2003/mathematik_lk2003.pdf
 

Benutzer83807 

Verbringt hier viel Zeit
Ich kann dir nicht genau sagen ob ein solches Beispiel dort zu finden ist, aber guck dir mal die Seite Oberprima an. Ist super hilfreich bei Mathefragen. :smile:
Hat mir durchs Abi geholfen.
 

Benutzer89563 

Meistens hier zu finden
Hallo!

Hast du dir eine Skizze gemacht?

Nochmal:

Wähle einen Punkt B, der auf deiner Funktion liegt.
Verbinde diesen Punkt mit dem gegebenem Punkt P.
Diese Verbindunslinie ist eine Grade (ist Teil einer Graden)

Jetzt ziehst du eine waagerechte Grade durch den einen Punkt, und eine senkrechte Grade durch den anderen.

Diese drei Graden liefern dir das genannte Dreieck.


Weiter sagst du: "Jetzt die Idee: die Verbindungsgrade und die Tangente gehen beide durch B. Wenn ihre Steigung auch noch identisch ist, dann sind die Graden ebenfalls identisch, und die Tangente durch B geht auch durch deinen Punkt P."
Definitiv FALSCH! Die Tangente an B geht NICHT durch P, denn dein B ist ja ein ganz BELIEBIGER Punkt auf dem Graphen von f(x).

Nö, das ist definitiv RICHTIG.

Sowohl die ganz am Anfang gezeichnete Grade geht durch B, also auch die Tangente im Punkt B.
Jetzt steht da: wenn die Stegung auch noch identisch ist. Nur dann sind die Grade und die Tangente identisch. Und darauf basiert die Idee: Rechne aus, für welche x das zutrifft!
Sind die Steigungen nicht identisch, sind es auch die Graden nicht.
Hier mußt du lernen, Texte, insbesondere mathematische Texte exakt zu lesen und zu verstehen, sonst nützt dir die Rechnerei rein gar nichts.


Dir die Aufgaben vorzukauen, bringt rein gar nichts, denn das sind bloß ein paar Rechnungen auf Papier, an denen lernst du nichts.
 

Benutzer77893 

Meistens hier zu finden
Also Solitarius hat durchaus recht. Aber ich hätte das einfach Mathematisch gelöst, dann siehst du das es eindeutig lösbar ist und es max. nur zwei Tangent gibt und nicht wie TS behauptet hat unendlich viele.
Also ich hätte wie Solitarius vorschlägt angefangen.
Es gibt eine Gradenschar durch den Punkt P(x*,y*) und eine schar Geraden der Tangent an f(x) = x^2 mit den Punkten T(x,f(x)). Wir suchen aber nur die Graden die beides erfüllen.
Also für die Gradenschar durch den Punkt P(x*,y*) gilt:
y* = mx* + b
Und für T gilt (Tangentengleichung):
f(x) = mx + b
weiter wissen wir das die Steigung m = y' ist also hier 2x.
Es gilt also:
y* = 2x x* + b und f(x) = 2x x + b wobei hier f(x) ja x^2 ist und beide Gleichung müssen erfüllt sein. Also können wir schreiben:
y* = 2x x* + b und x^2 = 2 x^2 + b jetzt können wir die letzte umformen und in die erste für b einsätzen. Also:
y* = 2x x* + b und b= x^2 - 2x^2 =>
y* = 2x x* + (x^2 - 2x^2) weiter:
y* - 2x x* + x^2 = 0 nun haben wir eine Quadratische Gleichung also max. 2 Lösung. Es kann natürlich auch kein Lösung geben, dass wären die Punkte die auf der eingeschlossen Fläche von x^2 liegen da hier keine Tangenten mehr gezogen werden können.

P.S.: Hoffe ich habe alles Richtig gemacht und es gut genug erklärt?!
 

Benutzer89563 

Meistens hier zu finden
Hi!

Naja, das mit dem x² war ja nur ein Beispiel. Hier kann man das mit den lösungen sogar exakt angeben:

Für Punkte "außerhalb" der Parabel gibt es immer zwei Tangenten.
Für Punkte exakt auf der Kurve gibt es naturgemäß nur eine Tangente.
Für Punkte "innerhalb" der Parabel gibt es keine Tangente.

Aber der TS meinte ja, es könnten beliebige Funktionen sein. Und wenn ich an f(x)=sin(x) denke, werden es schnell unendlich viele.
Der Knackpunkt ist dann, zum Schluß irgendwie auf die Lösung zu kommen...
 

Benutzer77893 

Meistens hier zu finden
Hi!

Naja, das mit dem x² war ja nur ein Beispiel. Hier kann man das mit den lösungen sogar exakt angeben:

Für Punkte "außerhalb" der Parabel gibt es immer zwei Tangenten.
Für Punkte exakt auf der Kurve gibt es naturgemäß nur eine Tangente.
Für Punkte "innerhalb" der Parabel gibt es keine Tangente.

Aber der TS meinte ja, es könnten beliebige Funktionen sein. Und wenn ich an f(x)=sin(x) denke, werden es schnell unendlich viele.
Der Knackpunkt ist dann, zum Schluß irgendwie auf die Lösung zu kommen...

Klar ich habe ja auch nur anhand dieses Beispiels gezeigt wie ich vorgehen würde, dass vorgehen würde sich ja bei Sin(x) nicht ändern, nur das man bei bestimmten Punkten eine PI periodische Funktion bekommt. Und Rechnen muss er ja am Ende immer noch selber...
 

Benutzer74000 

Verbringt hier viel Zeit
Danke zunächst mal für die Beiträge. Ich meine eigentlich, die Sache nunmehr verstanden zu haben. In der oben verlinkten Prüfungsaufgabe BW 2003 Aufgabe I1c bin ich zu folgendem Ergebnis gekommen: Die Schiene ist auf einer Höhe von 42,70 m anzubringen. Das kann allerdings nur stimmen, wenn die Abbildung nicht maßstabsgerecht ist. Andernfalls müsste das Ergebnis deutlich größer sein.
 
Oben
Heartbeat
Neue Beiträge
Anmelden
Registrieren